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Sens de variation, extrema

Croissante.... Décroissante.... Constante.... Mais c'est quoi tout ça ?

Et bien, c'est ce que l'on appelle les variations d'une fonction. Concrètement, c'est l'allure de la courbe représentative de ƒ : elle est montante, descendante ou stagnante ?



Les fonctions croissantes


Propriété

Une fonction ƒ est croissante si et seulement si on a : a < b et ƒ(a) < ƒ(b)


Sinon, il faut retenir qu'une fonction croissante "monte" ou "augmente"
On en conclut qu'une fonction croissante conserve l'ordre des termes : de a et b et de leurs images ƒ(a) et ƒ(b).



Les fonctions décroissantes


Propriété

Une fonction ƒ est décroissante si et seulement si on a : a < b et ƒ(a) > ƒ(b)


Sinon, il faut retenir qu'une fonction décroissante "descend" ou "diminue"
On en conclut qu'une fonction décroissante change l'ordre des termes : de a et b et de leurs images ƒ(a) et ƒ(b).
Je sais, c'est quasiment la même phrase que le dessus...



Les fonctions constantes


Propriété

La fonction constante n'est pas très compliquée....
Une fonction ƒ est constante si et seulement si on a : a < b et ƒ(a) = ƒ(b). C'EST LA JOIE !


Sinon, il faut retenir qu'une fonction constante "stagne"
Je sais, c'est quasiment la même phrase que le dessus...
Et ça, je l'ai déjà dit...


Tableaux de variation

On aura donc les tableaux de variation suivant :

    



Extrema d'une fonction


Propriété

Le minimum d'une fonction, c'est la plus petite valeur possible de x. Cool hein ?
Version matheuse : ƒ(x) a un minimum en x0 si pour tout réel x, on a ƒ(x) ≥ (x0). C'est le nombre qui a la plus petite image par la fonction.

Et le maximum d'une fonction, c'est la plus grande valeur possible de x. Trop cool !
Version matheuse : ƒ(x) a un maximum en x0 si pour tout réel x, on a f(x) ≤ f(x0).
C'est le nombre qui a la plus grande image par la fonction.

Ce sont les extremums (un extrema / des extremums) de la fonction.



Exemple

Voici un petit exemple des variations d'une fonction donnée par sa courbe représentative
Déterminer le tableau de variation de la courbe représentative de la fonction f(x) suivante :


On a le tableau de variation suivant :



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